\[ \left(2-x^2\right)^{x^2-3\sqrt{2}x+4}=1 \]

즉,

\[ \left[-(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\right]^{(x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})}=1 \]

실수해를 구하기 위해, 임의의 실수 \(a\neq0\)에 대하여

\[ a^0=1 \qquad\text{및}\qquad 1^a=1 \]

이라는 사실을 이용할 수 있다.

먼저 밑을 살펴보자. 밑이 \(1\)이 되는 것은 \(x=\pm1\)일 때 그리고 그때뿐이다.

다음으로 지수를 살펴보자. 지수가 \(0\)이 되는 것은 \(x=\sqrt{2}\) 또는 \(x=2\sqrt{2}\)일 때 그리고 그때뿐이다.

그러나 \(x=\sqrt{2}\)일 때는 밑과 지수가 모두 \(0\)이 된다. 따라서 유효한 실수해는

\[ x=\pm1,\qquad x=2\sqrt{2} \]

의 세 개이다.

이것이 전부일까? 반드시 그렇지는 않다. 양의 정수 \(n\)에 대하여

\[ (-1)^{2n}=1 \]

이 성립한다는 것도 생각해야 한다.

이 경우에는

\[ 2-x^2=-1 \]

이어야 하므로

\[ x=\pm\sqrt{3} \]

을 얻는다. 이때 지수는

\[ 7\pm3\sqrt{6} \]

이 되는데, 이는 \(2n\)의 꼴이 아니다. 따라서 추가적인 실수해는 존재하지 않는다.

참고: \(x\)를 복소수까지 확장한다면 \(1\)의 복소수 근이 여러 개 존재한다는 사실도 고려해야 한다. 예를 들어,

\[ \left(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\right)^3=1 \]

확장 문제: 정말, 정말 궁금한 사람만 읽어 보세요!!

임의의 복소수 \(z\)는 극형식 \[ z=re^{i\theta} \] 로 나타낼 수 있으며, 복소수의 로그는 다음과 같이 표현된다.

\[ \ln z =\ln\left(re^{i\theta}\right) =\ln r+\ln\left(e^{i\theta}\right) =\ln r+i\theta \]

이 사실을 이용하여 복소수의 범위에서 이 문제를 풀어 보자. 주어진 방정식의 양변에 로그를 취하면

\[ \left(x^2-3\sqrt{2}x+4\right)\ln\left(2-x^2\right) =2n\pi i, \qquad n\in\mathbb{Z} \tag{†} \]

복소수 \(2-x^2\)의 로그를 다루기 위해서는 \(2-x^2\)를 극형식으로 나타내는 것이 자연스럽다. \(z=re^{i\theta}\)라 하면

\[ \begin{aligned} 2-z^2 &=2-r^2e^{2i\theta}\\ &=2-r^2\cos2\theta-ir^2\sin2\theta\\ &=\sqrt{ \left(2-r^2\cos2\theta\right)^2 +\left(r^2\sin2\theta\right)^2 } \,e^{ i\tan^{-1} \left( \frac{-r^2\sin2\theta} {r^2\cos2\theta-2} \right) }. \end{aligned} \]

따라서 식 (†)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[ A(r,\theta)\times B(r,\theta)=2n\pi i \]

여기서

\[ A(r,\theta) = \left( 4+r^2\cos2\theta-3\sqrt{2}r\cos\theta \right) +i \left( r^2\sin2\theta-3\sqrt{2}r\sin\theta \right) \]

이고,

\[ B(r,\theta,m) = \frac{1}{2} \ln \left[ 4-4r^2\cos2\theta+r^4 \right] +i \left[ 2m\pi+ \tan^{-1} \left( \frac{r^2\sin2\theta} {r^2\cos2\theta-2} \right) \right], \qquad m\in\mathbb{Z} \]

\[ \left(2-x^2\right)^{x^2-3\sqrt{2}x+4}=1 \]

【확장】 \(x\)가 복소수가 되는 것이 허용된다면 어떻게 되는가?

\[ 5<a+b<10 \qquad\text{이고}\qquad -10<c+d<-5 \]

위 사실를 이용하여 다음 식의 범위를 구하시오.

\[ ??<a+b-c-d<?? \]

\[ ??<a-c<?? \]

\[ ??<a-c+d-b<?? \]

\[ ??<abcd<?? \]

\[ ??< \frac{|a|+|c|}{2}-\sqrt{|ac|} <?? \]

\(\displaystyle (2)\) 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서 출발하여 \(\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}\)를 지나 점 \(\displaystyle \mathrm{B}\)로 가는 경로의 최솟값

\(\displaystyle (3)\) 평행이동 후 대칭이동으로 일직선 만들기

\(\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=t\sqrt{2}\)이고 점 \(\displaystyle \mathrm{C},\mathrm{D}\)의 좌표가 고정되어 있을 때 \(\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BD}}+\overline{\mathrm{DC}}+\overline{\mathrm{AC}}\)의 최소값은 \(\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}+\overline{\mathrm{AC}}\)의 값이 결정함.

따라서 \(\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}\)의 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)를 그대로 점 \(\displaystyle \mathrm{B}\)에 평행이동한 후 \(\displaystyle y=x\)에 대칭이동하여 \(\displaystyle \overline{\mathrm{DC}^{\prime}}\)의 길이를 구하면 됨.

포물선 위의 임의의 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에 대하여 성립시키면 되겠죠.

포물선 위의 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)의 접선과 준선에 수직인 직선을 그었을 때의 준선과 만나는 점을 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)라고 하고, 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)와 초점을 연결한 선을 이어주고 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)와 초점을 연결한 선분을 그어 삼각형의 모양을 만들면 아래와 같습니다.

여기서 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPB}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DPF}\)가 같다는 것을 증명하면, 파동이 접선에 대해서 입사각과 반사각은 같게 되므로 증명 종료입니다.

증명해볼까요.

우선 위의 그림을 보고 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PQD}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DFA}\)에 대해서 살펴봅시다.

\(\displaystyle \angle \mathrm{QPD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DAF}\)가 엇각으로 같고, \(\displaystyle \angle \mathrm{PQD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DFA}\)가 엇각으로 같으므로 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PQD}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DFA}\)는 서로 닮음인 삼각형입니다.

그리고 \(\displaystyle \triangle \mathrm{QED}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DOF}\)를 볼게요.

\(\displaystyle \angle \mathrm{EQD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DFO}\)는 엇각으로 서로 같습니다.

그리고 \(\displaystyle \angle \mathrm{QDE}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{ODF}\)는 서로 맞꼭지각으로 같습니다.

그런데 선분 \(\displaystyle \mathrm{QE}\)의 길이와 \(\displaystyle \mathrm{OF}\)의 길이는 초점과 준선과의 관계니까 서로 같아요.

(초점과 꼭지점의 길이인 선분 \(\displaystyle \mathrm{OF}\)와 준선과 \(y\)축의 길이인 선분 \(\displaystyle \mathrm{QE}\)는 서로 같기 때문이죠.)

따라서 \(\displaystyle \triangle \mathrm{QED}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{DOF}\)는 서로 합동이므로 선분 \(\displaystyle \mathrm{QD}\)와 선분 \(\displaystyle \mathrm{DF}\)는 서로 같다는 것을 알 수 있죠.

이번에는 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDQ}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDF}\)에 대해서 볼까요?

우선 합동에 의해 선분 \(\displaystyle \mathrm{QD}\)와 선분 \(\displaystyle \mathrm{DF}\)는 서로 같죠. 그리고 포물선의 정의에 의해 선분 \(\displaystyle \mathrm{PF}\)와 선분 \(\displaystyle \mathrm{PQ}\)는 서로 같고, 선분 \(\displaystyle \mathrm{PD}\)는 서로 공통입니다.

따라서 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDQ}\)와 \(\displaystyle \triangle \mathrm{PDF}\)는 서로 합동이므로 \(\displaystyle \angle \mathrm{QPD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{DPF}\)는 서로 같은데, \(\displaystyle \angle \mathrm{QPD}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPB}\)는 맞꼭지각으로 서로 같으므로 결국 \(\displaystyle \angle \mathrm{DPF}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPB}\)는 서로 같다는 결론이 나오죠.

결국 임의의 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에 대하여

\[
\displaystyle \angle \mathrm{DPF}=\angle \mathrm{CPB}
\]

이므로 \(\displaystyle \mathrm{BP}\) 방향으로 오는 파동은 초점을 지나는 직선에 대하여 입사각과 반사각이 같으므로 항상 \(\displaystyle \mathrm{PF}\)의 방향으로 반사되어 \(\displaystyle \mathrm{PF}\)의 방향으로 가게 됩니다.

QED.


참고 : 

\begin{aligned}
&\text { 꼭짓점이 원점인 포물선의 한 점 } \mathrm{P} \text { 에서 접선을 그었을 때, }\\
&\text { (1) } \mathrm{y} \text { 축과 만나는 점인 } \mathrm{D} \text { 는 선분 } \mathrm{DO} \text { 의 중점이다. }\\
&\text { (2) 삼각형 } \mathrm{QPF} \text { 는 선분 } \mathrm{PQ}=\mathrm{PF} \text { 인 이등변삼각형이다. }\\
&\text { (3) 포물선 위의 점 } \mathrm{P} \text { 의 접선과 직선 } \mathrm{QF} \text { 는 언제나 수직으로 만나게 된다. }
\end{aligned}

예를 들어, 아래와 같이 초점 \(\displaystyle \mathrm{F}\)에서 타원을 지나는 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)를 향해 빛을 쐈을 때, 초점 \(\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}\)를 향해 정확히 반사됩니다.

이것은 당연히 예전에 배웠을 입사각과 반사각의 성질에 의한 것으로,
점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에서의 접선에서의 입사각과 반사각이 같을 때, 항상 초점을 향하는 것이죠.

이렇게 접선에서의 입사각과 반사각에 대해서 초점을 연결한 두 선분에 대해서 입사각과 반사각이 같음을 증명해봅시다.

아래와 같이 타원을 지나는 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에 대해서 접선을 그린다면 아래와 같죠.

여기서 \(\displaystyle \angle \mathrm{APF}^{\prime}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}\)가 같다는 것을 증명하려 합니다.

우선 아래와 같이 접선에 대하여 점 \(\displaystyle \mathrm{F}\)를 대칭시켜 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)을 만들어 냅시다.

대칭이므로 선분 \(\displaystyle \overline{\mathrm{FF}_1}\)은 접선에 의해 직각이등분됩니다.

따라서 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)과 \(\displaystyle \mathrm{P}\)를 연결하면 아래와 같이 이등변삼각형을 만들 수가 있죠.

이등변삼각형의 성질에 따라서 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}_1\)과 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}\)는 서로 같겠고, 맞꼭지각에 의해서 \(\displaystyle \angle \mathrm{APF}^{\prime}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}_1\)가 서로 같으므로 결론적으로 \(\displaystyle \angle \mathrm{APF}^{\prime}\)와 \(\displaystyle \angle \mathrm{CPF}\)가 같습니다.

Key :  점 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)은 점 \(\displaystyle \mathrm{F}\)를 접선에 대칭이동하여 만들었는데, 점 \(\displaystyle \mathrm{F}_1\)과 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)를 연결한 선분과 선분 \(\displaystyle \mathrm{PF}^{\prime}\)은 한 직선상에 존재하는 것일까요?

아래와 같이 접선상에 존재하는 임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)를 잡아봅시다.

임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)는 접선 위에 존재하는 임의의 점이기 때문에 타원 외부에 존재할 수도 있고, 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)처럼 타원 위에 존재할 수도 있죠.

그러므로

\[\displaystyle \mathrm{QF}+\mathrm{QF}^{\prime}\geq\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}\]

라고 할 수 있습니다.

(점 \(\displaystyle \mathrm{P}=\mathrm{Q}\)이라면

\[\displaystyle \mathrm{QF}+\mathrm{QF}^{\prime}=\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}\]

이고, 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\neq\mathrm{Q}\)라면

\[\displaystyle \mathrm{QF}+\mathrm{QF}^{\prime}>\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}\]

입니다.)

그런데 \(\displaystyle \mathrm{PF}=\mathrm{PF}_1\)이고 \(\displaystyle \mathrm{QF}=\mathrm{QF}_1\)이므로, 임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)에 대하여

\[\displaystyle \mathrm{QF}_1+\mathrm{QF}^{\prime}\geq\mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}_1\]

가 됩니다. (\(\displaystyle \mathrm{F}_1\)이 대칭점이기 때문이죠.)

즉, 접선을 지나는 임의의 점 \(\displaystyle \mathrm{Q}\)에 대하여

\[\displaystyle \mathrm{PF}^{\prime}+\mathrm{PF}_1\]

은 항상 최소가 되어야 하는데, 그러려면 \(\displaystyle \mathrm{P}\)가 직선 \(\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{F}_1\) 위에 존재해야 하죠.

\&#91;\begin{array}{ll}m_1 \times \mathrm{A}=n_1 \times \mathrm{B} & e \times \mathrm{A}=a \times \mathrm{E} \\ m_2 \times \mathrm{B}=n_2 \times \mathrm{C} & f \times \mathrm{B}=b \times \mathrm{F} \\ m_3 \times \mathrm{C}=n_3 \times \mathrm{A} & d \times \mathrm{C}=\mathrm{c} \times \mathrm{D}\end{array}\&#93;

[단계 2] 두 꼭짓점 사이의 내분점에 두 꼭짓점의 수를 더해준다.

\[\mathrm{D}=\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ \mathrm{E}=\mathrm{B}+\mathrm{C} \\  \mathrm{~F}=\mathrm{C}+\mathrm{A}\]